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主成分分析（PCA）是常用的降维技术，其核心目标是通过选择特征向量，将数据投影到一个低维空间中，同时最大化数据在新空间中的方差。降维的核心原理是寻找能够最优表示数据的线性变换，使得数据在新空间中能保留最多的变异性。
PCA的核心步骤包括：
数据中心化：首先将所有样本数据偏离中心的均值部分提取出来，形成去中心化矩阵X。具体操作是对每个样本减去样本均值向量u，得到去中心化矩阵X = {Z1 - u, Z2 - u, ..., Zm - u}。
寻找主成分：主成分的寻找依赖于目标函数的最大化，即投影到各个潜在方向上的方差最大化。通过构建拉格朗日算子并求解最优条件，可以得出主成分对应的特征值和特征向量。
矩阵变换：选择若干主成分进行降维，将高维数据映射到低维特征空间。具体实现中，经常采用奇异值分解（SVD）来替代直接计算协方差矩阵，特别是在处理大规模数据时，能够显著减少内存占用。
实际应用：PCA在人脸识别中的应用具有重要意义。通过收集和预处理人脸样本，计算协方差矩阵的特征值和特征向量，建立训练人脸库。然后，对待测样本的数据进行投影，计算其在特征向量方向上的投影，进而进行身份识别。
线性判别分析（LDA）是一种面临高维数据分类时的理想降维技术。其核心思想是构建一个最佳投影矩阵，将高维数据投影到一个低维的特征空间中，使得投影后数据在同类间具有最大距离，在不同类间具有最小距离，从而实现最优的分类效果。
LDA的数学表示涉及以下关键步骤：
计算协方差矩阵：根据类别信息，计算各类样本的协方差矩阵。假设输入数据为N维向量，类别数为C，则协方差矩阵S为 size=N×C， kaleSize= size×N。
计算特征向量：通过求解协方差矩阵S的特征值与特征向量，找到最优的投影方向。具体来说，对每个特征值求出对应的特征向量，这些特征向量构成了降维的方向。
构建投影矩阵：利用特征向量构建投影矩阵W，使得投影后数据在最优子空间中呈现最好的分类性能。投影矩阵的大小为C×N，使得数据向量在投影后尺寸缩减为C维。
降维与分类：基于LDA提取的特征向量，进行数据降维。对于待测样本，通过投影矩阵进行降维后，计算其在投影空间中的特征向量，进而进行分类。
代码实现部分主要包含以下几个关键函数：
pca函数：用于执行主成分分析，参数包括输入数据矩阵及降维的可控参数。函数返回处理后数据矩阵及其对应的主成分信息。
readsample函数：负责读取样本数据。函数接收样本地址、类别数以及每类样本数目，返回所有样本矩阵。
computswb函数：计算均值方差矩阵Sw和交乘积矩阵Gb。这两个矩阵是LDA的前提条件，用于判断各个维度的贡献率。
computaccu函数：评估分类准确率。函数接收降维后的测试样本数据和训练样本数据，计算准确率。
代码运行流程如下：
初始化设置：设置数据加载地址及参数如训练样本数及类别数目。
数据加载：读取训练数据和测试数据，并进行降维处理。
寻找最佳投影维度：通过遍历不同投影维度，评估识别准确率，确定最优投影维度。
输出结果：显示每类样本数、最佳投影维度及识别准确率。
实验结果表明，采用PCA结合LDA的方法在人脸识别任务中表现优异，准确率高达97.5%。代码实现准确反映了理论推导过程，能够帮助用户快速完成降维与分类任务。
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